воскресенье, 24 декабря 2017 г.
Готовимся к экзаменам. Интересные решения сложных задач.
Рассмотрим "свежую" задачу из демо-2018.
Для какого наибольшего целого числа А формула
( (x <= 9) -> (x×x <= A) ) и ( (y×y <= A) -> (y <= 9) )
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?
РЕШЕНИЕ.
Решение упрощает тот факт, что здесь есть два условия, которые объединяются с помощью логической операции «И»:
(x <= 9) -> (x×x <= A)
(y×y <= A) -> (y <= 9)
1) необходимо, чтобы оба эти условия выполнялись одновременно; заметим, что первое зависит только от переменной x, а второе – только от переменной y, поэтому их можно рассматривать отдельно: каждое из них задает некоторое ограничение на значение A
2) рассмотрим первое условие: (x <= 9) -> (x×x <= A). Для того чтобы импликация была истинной, нельзя допустить вариант 1 -> 0, то есть при истинной левой части правая часть тоже должна быть истинной.
3) это значит, что для всех 0 < x <= 9 мы должны обеспечить x×x <= A, то есть выбрать A >= x×x для все допустимых значений x. Очевидно, что для этого необходимо и достаточно выбрать A >= 9×9 = 81. Таким образом, мы определили минимальное допустимое значение A = 81.
4) рассмотрим второе условие: (y×y <= A) -> (y <= 9). Чтобы оно было истинно, нельзя допустить вариант 1 -> 0. Выбором A мы можем влиять на левую часть, но не на правую. «Плохо», когда правая часть ложна, то есть y > 9. В этом случае нам нужно сделать левую часть ложной, то есть обеспечить выполнение условия y×y > A.
5) для выбора максимального A возьмем минимальное значение y, для которого y > 9. Это даёт условие 10×10 > A, откуда следует A < 100
6) таким образом, максимально допустимое значение A равно 99.
1) необходимо, чтобы оба эти условия выполнялись одновременно; заметим, что первое зависит только от переменной x, а второе – только от переменной y, поэтому их можно рассматривать отдельно: каждое из них задает некоторое ограничение на значение A
2) рассмотрим первое условие: (x <= 9) -> (x×x <= A). Для того чтобы импликация была истинной, нельзя допустить вариант 1 -> 0, то есть при истинной левой части правая часть тоже должна быть истинной.
3) это значит, что для всех 0 < x <= 9 мы должны обеспечить x×x <= A, то есть выбрать A >= x×x для все допустимых значений x. Очевидно, что для этого необходимо и достаточно выбрать A >= 9×9 = 81. Таким образом, мы определили минимальное допустимое значение A = 81.
4) рассмотрим второе условие: (y×y <= A) -> (y <= 9). Чтобы оно было истинно, нельзя допустить вариант 1 -> 0. Выбором A мы можем влиять на левую часть, но не на правую. «Плохо», когда правая часть ложна, то есть y > 9. В этом случае нам нужно сделать левую часть ложной, то есть обеспечить выполнение условия y×y > A.
5) для выбора максимального A возьмем минимальное значение y, для которого y > 9. Это даёт условие 10×10 > A, откуда следует A < 100
6) таким образом, максимально допустимое значение A равно 99.
Подписаться на:
Комментарии к сообщению (Atom)
Про меня
Позитивный контент
Блог - участник конкурса сайтов "Позитивный контент"
0 коммент.:
Отправить комментарий